魏尔斯特拉斯函数的构造在魏尔斯特拉斯1872年6月18日的论文中首次展现，其表达式为fx = \sum_n=0 ^\infty a^n \cosb^n \pi x其中，0ltalt1，b 为正奇数，需满足条件ab 1+\frac32 \pi这个函数的独特性质在于它虽然处处连续，但在每一个点上又不可导证明其连续；构造 魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是，其中0 lt a lt 1，b 为正的奇数，使得这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中证明这个函数处处连续并不困难由于无穷级数的每一个函数项ancosbnπx的绝对值都小于常数an。

魏尔斯特拉斯函数，以其独特的分形特性而闻名，是数学中一类处处连续但处处不可导的实值函数这个函数的出现推翻了当时人们对连续函数的传统理解，即认为除了少数特殊点，连续函数在每一点都有斜率魏尔斯特拉斯的函数定义为一个无穷级数，其连续性和不可导性的证明在1872年的一篇论文中首次提出尽管；对于一元函数，可微和可导是等价的，即导数在此点连续 左导数等于右导数，且等于该点导数如果该点由定义则可导对于二元函数，若可导且导函数在该点连续则可微。

存在一种数学现象，即处处连续而处处不可导函数魏尔斯特拉斯函数是此类函数的典型代表，但其实还存在更多复杂而精妙的构造方法定理21提供了一种普遍的构造技巧，可用于创建处处连续但处处不可微的分形函数这种方法巧妙地融合了连续性和不可导性，揭示了数学结构的复杂性数学史上的诸多巨匠，如高斯；魏尔斯特拉斯在1872年的论文中构造了一个独特的函数，该函数既处处连续又处处不可导这个构造的关键是利用0ltalt1和正奇数b，使得函数项的级数一致收敛，从而确保函数的连续性然而，函数的非导性部分是其独特之处，通过构造两个不同数列趋近于同一点但极限值不相等，证明了其不可导性，这与通常的。

他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学他父亲在明斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为该市教师他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼Christoph Gudermann的课，对椭圆函数萌生兴趣1850年后魏尔施特拉斯患病了很久，但仍然发表论文。

由于级数的一致收敛性，魏尔斯特拉斯函数在其定义域内是处处连续的不可导性证明魏尔斯特拉斯函数的独特之处在于其处处不可导性这通过构造两个不同数列趋近于同一点但极限值不相等来证明具体来说，对于函数中的任意一点，都可以找到两个不同的数列，它们都以该点为极限，但沿着这两个数列趋近时；魏尔斯特拉斯函数的性质通过级数分析得到了证明每个函数项a^n \cosb^n \pi x的绝对值都小于常数a^n，且正项级数\\sum_n=0 ^\infty a^n\由于收敛性，使得整个级数和fx在实数集\\mathbb R\上连续然而，关键的结论是，函数fx并非处处可导为了证明这一点，我们采用。

您好，答案如图所示魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画而且该函数的每一点的斜率也是不存在的；尽管魏尔斯特拉斯函数处处连续，但它却在每一点上都是不可导的这是因为该函数的图像在每个点上都像y=x在x=0处的尖点一样，没有平滑的切线换句话说，无论我们如何选择一点并尝试计算该点的导数，都会发现导数不存在，因为函数在该点附近的变化率不是唯一或稳定的局部与整体的自相似性魏。

探索魏尔斯特拉斯函数连续性与不可导性的奇妙组合 首先，让我们聚焦于实数域上那个看似简单的狄利克雷函数Dirichlet Function它以独特的分段形式定义 Dx = 0，当x是无理数，而Dx = 1，当x是有理数定义域遍历整个实数R，值域锁定在0，1之间这个函数的奇偶性值得玩味由于有。

下面证明函数处处不可导对一个给定的点ltmathx \in \mathbb Rltmath，证明的思路是找出趋于ltmathxltmath 的两组不同的数列ltmathx_nltmath 和 ltmathx#39_nltmath，使得 ltmath\lim \inf \fracfx_n fxx_n x \lim \sup \fracfx#39_n fxx#39_n xltmath 这与函数可导的定义；编辑词条 发表评论 历史版本 打印 处处连续处处不可导函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去。

连续性与不可导性尽管魏尔斯特拉斯函数的每一项函数项都是连续且绝对值有界，级数整体上一致收敛，从而保证了函数的连续性，但魏尔斯特拉斯通过构造矛盾的数列序列，证明了该函数在某一点都不可导这一点与直观上认为的连续函数几乎可导形成了鲜明对比数学史上的意义魏尔斯特拉斯函数的提出打破了。